Movimiento Rectilíneo (Caso: MRUA)

 

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado:

    La palabra uniforme nos hace pensar que  algo que sucede de una manera ordenada, de la misma forma, o bien con un patrón constante; por esta razón al hablar del movimiento uniforme se describió como aquel donde el vector velocidad permanece constante.

    Ahora bien, en el MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO el vector ACELERACIÓN es CONSTANTE.  En este movimiento no aparece la componente normal de la aceleración, y sólo se habla de la aceleración tangencial.

    El vector velocidad cambiará en forma constante durante lapsos de tiempos iguales, pero es importante recordar que un vector puede cambiar por varias razones:

*  Porque cambie en su módulo  ó,

*  Porque cambie en su dirección ó,

*  Porque cambie en su sentido ó,

*  Porque cambie en su módulo y en su dirección ó,

*  Porque cambie en su módulo y en su sentido ó,

*  Porque cambie en su dirección y en su sentido ó,

*  Porque cambie en su módulo, en su dirección y en su sentido.

    Al tratarse de un movimiento rectilíneo los cuerpos no van cambiar de dirección, puesto que siempre van en línea recta, y esto asegura que la dirección del vector velocidad es constante (tangente a la trayectoria), entonces la dirección del vector aceleración también quedrá tangente a la trayectoria y será constante.

      Si el vector velocidad varía siempre en el mismo sentido, es decir, aumenta continuamente ó disminuye continuamente, entonces el sentido del vector aceleración es constante (analice detenidamente el siguiente ejemplo).

    Note además, que los vectores velocidad y aceleración van en el mismo sentido, esto hace que la rapidez crezca, es decir, que transcurrido cierto tiempo el módulo del vector velocidad es mayor que el inicial. 

¿Cuál sería el resultado de la aceleración si la rapidez final del segundo intervalo de tiempo hubiese sido 5Km/h con el león manteniendo su sentido de movimiento? Y ¿cuál sería el resultado si la rapidez final del segundo intervalo de tiempo hubiese sido 15 Km/h con el león manteniendo su sentido de movimiento?.

 Se concluye que en un movimiento rectilíneo si el módulo del vector velocidad crece (ó decrece) en una cantidad constante, entonces el módulo del vector aceleración será constante. En el ejemplo, la razón de crecimiento debe ser de 5km/h  cada ½ hora. Y si los tres elementos del vector aceleración se mantienen constantes entonces el movimiento será uniformemente acelerado.

 - Ecuaciones del Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado

    Las ecuaciones de velocidad instantánea y aceleración instantánea se particularizan para:

  

Partiendo de la ecuación 2 se buscará ahora despejar la expresión de la velocidad instantánea final:

 La integral del segundo término de esta útilma ecuación:

tiene una posible solución gráfica (geométrica) que representa el cambio de velocidad en ese intervalo de tiempo. Como la aceleración es constante, se trata del área de un rectángulo de altura: a y base:  (t-t_i).

 

   Analíticamente también se obtiene el mismo resultado de la integración:

   Si se considera t_i = 0s:           

   Utilizando la ecuación 1) y sustituyendo este último resultado para tratar de despejar ahora la expresión de la posición en un instante final "t", nos queda:

                              

                   

 Nuevamente la integral de la velocidad en el tiempo se puede trabajar como el área entre la curva y el eje, dando como resultado directo el desplazamiento de la partícula en ese intervalo de tiempo.

Por lo tanto, la forma final de las ecuaciones del Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U.A) es:

 

&  GRÁFICAS DE LA POSICIÓN, LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN RESPECTO AL TIEMPO.

Gráfica de la Aceleración & tiempo en MRUA   

La gráfica de la aceleración es la más sencilla, en este caso, porque se trata una constante en el tiempo, que será positiva cuando vaya a favor del sistema de referencia ó negativa si está en contra del sistema de referencia.

Gráfica de la Velocidad & tiempo en MRUA  

 La gráfica de la velocidad en función del tiempo corresponde a una línea recta:

    En la gráfica se observa que el sentido de la aceleración es negativo cuando la curva de la velocidad & tiempo tiene pendiente negativa, en cambio, si la aceleración es positiva entonces la curva de la velocidad & tiempo tiene pendiente positiva. 

 

 Gráfica de la Posición & tiempo en MRUA  

 

    La ecuación que representa la posición de la partícula en el tiempo es de orden 2 y se dibuja entonces con una parábola:

 

 

La parábola será cóncava cuando el sentido de la aceleración sea positivo o convexa cuando el sentido de la aceleración sea negativo.

   El punto donde arranca la parábola es la posición a la que se encuentra la partícula en t = 0s. Para ambos casos del ejemplo mostrado a continuación, el cuerpo está inicialmente hacia la parte positiva del eje de movimiento, puesto que r_i > 0. 

    Si la posición en el tiempo varía como se muestra en la curva punteada (con aceleración negativa), el cuerpo se mueve con rapidez decreciente, alejándose del origen del sistema de referencia hasta un tiempo t₁, en este instante se detiene y se devuelve aumentando su rapidez en sentido contrario, es decir, se dirige ahora hacia el origen  sistema de referencia y, pasa por él en un tiempo t₂ con una velocidad distinta de cero.

   Si la posición cambia en el tiempo como muestra la curva continua (con aceleración positiva), el cuerpo del ejemplo se moverá siempre aumentando su rapidez alejándose del origen  sistema de referencia.

   Para construir la gráfica de posición & tiempo a partir de la gráfica de velocidad & tiempo y es necesario conocer al menos uno de los puntos por donde pasa la partícula en un instante de tiempo determinado. Si el punto que se conoce está dado para t=0s se le llama “condición inicial”.

 

  CASO PARTICULAR DEL M.U.A: MOVIMIENTO VERTICAL.

    El movimiento sobre la superficie terrestre se ve afectado por la fuerza que la Tierra ejerce sobre el objeto. En muchos casos esta fuerza obliga a que el cuerpo sólo se mueva sobre su superficie.

    Si se coloca un observador en el espacio, se nota que al separar un cuerpo una pequeña distancia de la superficie terrestre (despreciando también el roce con el aire) al soltarlo éste acelera siempre en dirección radial a la Tierra y en sentido de atracción hacia su superficie. La aceleración con la que se mueve tiene un valor prácticamente constante conocido como “aceleración de gravedad”.

 

   Sin embargo, si se coloca otro observador en un punto de la superficie terrestre cercano al cuerpo en movimiento éste verá el movimiento como si fuese vertical.

   Los cuerpos, por lo general describen trayectorias verticales cuando:

-  Se dejan Caer Libremente: En este caso el cuerpo no tendrá velocidad inicial  y ubicándose a una determinada altura de la superficie.

-  Se Lanzan Verticalmente hacia Abajo: Aquí se le imprime una velocidad inicial al cuerpo provocando el movimiento de descenso.

-  Se Lanzan Verticalmente hacia Arriba: Se trata en sí de dos movimientos consecutivos. El de ascenso propiamente dicho y otro de caída libre. Gracias a la velocidad inicial (Vo₁) con que se lanza el cuerpo, éste asciende una altura determinada. Pero debido a que la aceleración de gravedad está en contra de la velocidad inicial, su rapidez decrece hasta valer cero, en este instante se detendrá (Vf₁=0) y cederá a la atracción de la Tierra, siendo aquí donde comienza el segundo movimiento, el de caída libre (Vo₂=0).

    Las ecuaciones a utilizar serán las mismas del Movimiento Uniformemente Acelerado, puesto que se trata de un caso especial en el cual se trabaja sobre el eje Y, y el vector unitario (vector que indica la dirección de trabajo) es ĵ.

 

  Es importante notar que el sistema de referencia generalmente se toma como si estuviese colocado en un punto fijo de la superficie (los sentidos o puntas de los ejes son arbitrarios).

    En estas ecuaciones tomaremos como valor de la aceleración de gravedad:  

En el movimiento Vertical:

 

&  GRÁFICAS DE LA POSICIÓN, LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN RESPECTO AL TIEMPO.

 

   Este movimiento se utilizan las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado, sustituyendo la aceleración por la gravedad. Aunque el valor de la aceleración difiere de un lugar de la Tierra a otro, tales discrepancias se pueden despreciar sin que los cálculos se vean afectados considerablemente, así que nuevamente la velocidad instantánea es:

y la aceleración instantánea será:

   En el sistema de referencia planteado aceleración es un vector de módulo constante y de sentido negativo, entonces su gráfica en el tiempo es:

 Las ecuaciones se escriben de la siguiente manera:

Al ser la gravedad negativa en el sistema de referencia escogido, obliga a que la pendiente de la gráfica de velocidad & tiempo sea constante y negativa, y lo único que podría cambiar en la gráfica es el valor inicial de la velocidad, en este ejemplo se tomó una velocidad inicial positiva, lo que indica que el cuerpo ha sido lanzado verticalmente hacia arriba. 

   En la gráfica se observa que en t₁ la rapidez se hace cero, y recordando que la velocidad es la primera derivada de la posición, matemáticamente se sabe que para ese tiempo t₁ la posición debe tener un máximo (aceleración negativa), quedando la curva de Posición & tiempo como se muestra a continuación:

 

Movimiento Rectilineo. (Caso Particular: MRU)

 

     Movimiento Rectilíneo

 

 El Movimiento Rectilíneo es aquel que describe una trayectoria en línea recta. 

Este movimiento podría ocurrir con:

-   Velocidad Constante.

-   Aceleración Constante ó con

-   Aceleración Variable

 

Movimiento Rectilíneo Uniforme

El Movimiento Rectilíneo Uniforme ocurre cuando el cuerpo se mueve a VELOCIDAD CONSTANTE, es decir, con: 

 

- Módulo CONSTANTE: la rapidez o ritmo del movimiento es constante, recorriendo la misma longitud siempre en el mismo tiempo.

- Dirección CONSTANTE: sobre una solo línea recta y 

- Sentido CONSTANTE: sin devolverse o retroceder.

    El eje sobre el cual ocurrirá el movimiento y en consecuencia su unitario, se escoge dependiendo de la dirección del desplazamiento del cuerpo, puede ser el eje X, el Y, el Z o bien, un eje inclinado "r" cualquiera, siendo arbitraria su escogencia.

    En este caso la trayectoria y el dezplazamiento coinciden perfectamente, así que coincidirán las medidas del espacio recorrido "S" en un cierto intervalo de tiempo y la distancia "D" del vector desplazamiento en ese mismo intervalo:

   La velocidad instantánea será igual a la velocidad media, por cuanto es constante para cualquier intervalo de tiempo (largo o corto). La representación gráfica del valor de la velocidad en función del tiempo es:

     Ahora bien, una vez conocida la velocidad "V" con la cual se mueve la partícula sobre el trayecto rectilíneo el interés se centra en conseguir una expresión que permita determinar ¿por donde va la partícula?, es decir, la posición "r(t)" donde se encuentra en cualquier instante “t” seleccionado. Para ello se parte de la ecuación de velocidad instantánea:

   En esta ecuación el valor de la velocidad V es conocido y lo que se busca es despejar la incógnita "r(t)", para ello el primer paso será separar nuestra incógnita "r(t)" hacia un lado de la ecuación quedando:      

  Pero se necesita eliminar la derivada y conseguir la posición "r(t)" y por eso se aplica una integral a ambos lados de la ecuación, la cual estará definida para dos puntos de estudio del movimiento que son: el inicial, donde el cronómetro marca un tiempo "ti" y la partícula esta en "ri" y, el punto final, que denotaremos como "r", en el cual el cronómetro marcará tiempo final "tf = t".         

El segundo término de la ecuación tiene una interpretación geométrica que podría simplificar el cálculo de esta integral:

Sucede que el resultado de una integral también se puede obtener del cálculo del área encerrada entre la curva y el eje horizontal, que en nuestro caso es el eje de tiempo “t”. En la gráfica se observa una figura de un rectángulo entre los límites t_i y t, cuya área se calcula fácilmente del valor de la base (tf-ti) y altura (V).  Así que, el resultado de la integración aplicada sobre la derivada de la posición arroja un delta de posición en el primer miembro y en el otro miembro de la ecuación aparece un valor de una área geométrica:

 Vimos que la integral aplicada en la derivada de la posición nos arroja a la misma posición "r" pero evaluada entre los puntos límites de nuestro estudio, es decir, nos devuelve el desplazamiento medido entre esos dos puntos:              

 Si se sigue el procedimiento de integración convencional en el segundo miembro de la ecuación, sólo se requiere colocar fuera de la integral el valor V de la velocidad, que sale de ella por ser una constante. Luego se puede integrar el diferencial del tiempo que queda dentro de la integral, resultando en un delta de tiempo:

    Esta última expresión confirma que la diferencia de posición de la partícula (desplazamiento) es el área del rectángulo mencionado de base (t-ti) y altura V. Al despejar se consigue la posición para cualquier tiempo “tf=t”.

   Escalarmente esta solución representa la ecuación de una línea recta: 

   Si el vector velocidad es constante obliga a que la aceleración sea nula, porque sólo hay aceleración cuando cambia al menos uno de los elementos del vector velocidad y en este caso los tres (módulo, dirección y sentido) son constantes. El cálculo del vector aceleración se hace a partir de la ecuación de aceleración instantánea. Geométricamente la derivada representa la pendiente en cada punto de la curva, pero en este caso se trata de una recta horizontal (velocidad es constante) así que la pendiente es cero.

 -  Ecuación del Movimiento Rectilíneo Uniforme: