Posición y Velocidad - Representación Vectorial

Aplicación Sencilla de Vectores en Cinemática

 

Enunciado:

Dos amigos juegan al tiro al blanco apuntando hacia una piedra que sobresale de un rio. Uno de ellos lanza una fecha desde el punto “A” de la torre de control, el otro jugador hace su lanzamiento desde el punto “B” perteneciente a la balsa, tal como se muestra en la figura.  

Si se sabe que: 

- El rio arrastra a la balsa en línea recta, alejándose de la piedra, con una rapidez de 36Km/h. 

- La balsa se encuentra a 50m del borde más cercano de la piedra para el momento del lanzamiento.

- Desde la torre, la flecha se lanza en forma horizontal con una rapidez inicial de 50m/s.

 - Desde la balsa, el lanzamiento se hace a 60º con la horizontal con una rapidez inicial de 40m/s respecto a la balsa.  

- Todo ocurre en el mismo plano de movimiento.

 

Determine:

a) La posición de cada jugador y de los extremos o bordes de la piedra central.

b) La velocidad de cada flecha y de la balsa proporcionadas en el enunciado.

 

Vectores de Posición.

 

Posición del Jugador A, ubicado en la torre:

 Para obtener el vector de posición del jugador A, se dibuja un vector que sale desde el origen del sistema de referencia hasta el punto donde está ubicado el jugador.

 

A partir del gráfico del vector de posión del jugador A se puede ver que se trata de un vector "vertical que apunta hacia arriba" (de dirección y sentido + j), cuyo módulo es justamente el valor de la altura H. Así que para expresar al vector se utilizará la notación:

 Así que el vector de posición de A se expresa como:

 

 
Posición del Jugador B, ubicado en la balsa:

 Para obtener el vector de posición del jugador B, se dibuja nuevamente un vector que sale desde el origen del sistema de referencia pero ahora dirigido hacia la ubicación del jugador B.

 Del dibujo del vector de posición del jugador B se nota que se trata de un vector inclinado,por esta razón el vector de posición del jugador B se expresará como:

La inclinación del vector es hacia el primer cuadrante,por lo tanto tiene su componente en el eje "X" y su componente en el eje "Y", ambas positivas. Los módulos (distancias) de esas componentes se pueden calcular fácilmente con los parámetros marcados en la figura del problema.

Entonces el vector de posición del jugador B sería:

 Posición de los extremos de la piedra central:

Para ubicar los bordes de la piedra central primero definiremos el extremo más cercano al jugador A como el extremo 1 y el borde de la piedra que está más cercano al jugador B como el extremo 2.

Nuevamente para determinar estos vectores se prefiere la descomposición cartesiana ya que los valores de las componentes de ambos vectores se pueden determinar a partir de la figura.

Estos vectores se escriben de la siguiente manera:

 

 

 

Vectores de Velocidad.

En esta segunda parte del ejemplo se determinará la velocidad de cada flecha tal como fue proporcionada en el enuciado, es decir, utilizando el marco de referencia alli descrito.

 Velocidad de la flecha que lanza el jugador A, ubicado en la torre:

El jugador A se encuentra en reposo sobre la torre, por lo tanto, la velocidad de la flecha que él lanza está referenciada a un marco de referencia "Tierra" que en este caso es  "0", esto significa que ha sido medida en un S.R.I (sistema de referencia inercial) .

El vector velocidad de la flecha "A" ya se encuentra dibujado en la figura, sólo resta colocarle el nombre:

Por ser un vector horizontal que apunta hacia la derecha se expresa como:

Sustituyendo el módulo dado en el enunciado:

Velocidad de la flecha que lanza el jugador B, ubicado en la balsa:

En este vector el marco de referencia desde el cual está medida su magnitud está ubicado en la balsa, y ella está en movimiento. Sin embargo, la balsa se mueve a velocidad constante sobre el río, haciendo que la medición pertenezca también a un marco inercial ubicado en la balsa.

El vector velocidad inicial de la flecha lanzada desde la balsa es inclidado y apunta hacia el segundo cuadrante y de él conocemos su módulo y el ángulo que forma con la horizontal, así que se puede expresar como:

Sustituyendo los valores conocidos queda:

 Velocidad de la balsa:

La velocidad de la balsa se representa como un vector que se aleja de la piedra, cuyo valor aunque es conocido necesita ser transformado al sistema internacional:

 

Transformación: