Repaso de VECTORES

 ¿Qué es un vector?

Una definición formal de vector concuerda con la siguiente rima:

"Es un segmento de recta dirigido

que tiene módulo, dirección y sentido"

 

Ahora bien, gráficamente un vector se representa a través de una flecha, que tiene un origen y un extremo, por eso se habla de segmento de recta con punta de flecha (dirigido) que sale del punto de origen y llega hasta el punto del extremo. 

Pero una flecha se puede dibujar de muchas maneras y, más aún, si se representa en tres dimensiones, por esta razón cada vector se distingue por: su tamaño (módulo), su inclinación (dirección) y su sentido (hacia dónde apuntará la flecha).

 ¿Cómo se denota un vector?

Para nombrar a un vector se utiliza, por lo general, una letra en mayúscula con una flecha sobre la letra. Por ejemplo: 

 ¿Qué tan grande será el vector?

La respuesta a esta interrogante se conoce como "el módulo del vector", y para nuestro ejemplo se escribiría así:

El módulo del vector es una cantidad que representará el tamaño del vector en una cierta escala de unidades. 

 Teniendo en cuenta que los vectores se emplean con mucha frecuencia en la representación de las varias magnitudes físicas, como por ejemplo: para ubicar la posición de una partícula en un espacio, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el torque, el momento lineal, el momento angular, entre otras... es de esperar que si la magnitud a representar es grande el tamaño del vector también será grande, y por el contrario, si la magnitud es pequeña el tamaño del vector será pequeño, pero cuando la magnitud a representar es nula el vector será simplemente un punto.

  ¿Dónde ubicar al vector?

El sistema de coordenadas cartesiano bidimensional X-Y, conocido también como Plano Cartesiano permite representar tanto a vectores de dirección vertical, horizontal e inclinada . 

Para ubicar el punto de origen y el punto extremo del vector en el plano cartesiano X-Y se expresa cada punto con su coordenada en X y su coordenada Y formando una pareja ordenada: (X,Y). Por ejemplo, si consideramos al punto P1(1,3) como el origen del vector y al punto P2(4,5) como extremo del vector, entonces la representación gráfica de este vector quedaría:

Este vector A resultó ser inclinado, es decir, que no es paralelo ni al eje X ni al eje Y, y se encuentra comprendido entre las coordenadas 3 y 5 del eje Y y las  coordenadas 1 y 4 del eje X. No obstante, aunque se conocen las coordenadas del origen y del extremo del vector todavía se desconoce la medida del tamaño del vector A, y es que para ello primero debemos determinar la longitud de las "componentes del vector".

¿Cómo medir el módulo del vector?

El vector A tiene proyecciones o componentes sobre los ejes X y Y, las cuales se pueden medir y a partir de ellas calcular la longitud total del vector. Para ello imaginemos que colocámos un espejo acostado sobre el eje X, debajo del vector, y otro espejo levantado sobre el eje Y, al lado del vector y luego dibujamos las flechas que proyectaría el vector en esos epejos.

Resulta que la proyeción de A en el eje X, se llama Ax o componente en X de A, que en este ejemplo tiene la punta de la flecha dirigida hacia los valores positivos de X, contenida entre las coordenadas 1 y 4 en X. La proyección del vector A en el eje Y, que se llama Ay o componente en Y de A, tiene la punta de la flecha orientada hacia los valores positivos de Y y está contenida entre las coordenadas 3 y 5 del eje Y. Entonces el vector A se puede expresar a través de una pareja ordenada de componentes:

La medida de cada componente: Ax y Ay se consigue restando las coordenadas en X y en Y del punto extremo con las coordenadas en X y en Y del punto de origen:

Punto Extremo   P2(X2,Y2)= (4,5)

Punto de Origen P1(X1,Y1)= (1,3)

______________________________

            (X2 - X1, Y2 - Y1) =(4-1, 5-3)

        Ax = X2 - X1 = 4 - 1 = 3

        Ay = Y2 - Y1 = 5 - 3 = 2

 Entonces el vector A se expresa como:

Como vemos en la siguiente figura el vector A se encuentra sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos Ax y Ay, así que su valor se obtiene a través de la fórmula de pitágoras:

 

En este ejemplo el módulo del vector A es:

¿Cómo determinar la dirección del vector?

Para determinar la dirección de un vector seguiremos haciendo uso del sistema cartesiano y de los llamados "vectores unitarios". Los vectores unitarios se han establecido convencionalmente para indicar las direcciones de los ejes cartesianos X-Y-Z. Estos vectores unitarios se dibujan paralelos a cada uno de los ejes y su tamaño o módulo es la unidad:

- El vector unitario " Î " que indica la dirección paralela al eje X y en sentido positivo.

- El vector unitario " Ĵ " que indica la dirección paralela al eje Y y en sentido positivo.

- El vector unitario " k " que indica la dirección paralela al eje Z y en sentido positivo.

Esta convención simplifica la expresión de los vectores, porque por ejemplo para los vectores componentes que hemos estado trabajando: Ax y Ay, es posible reescribirlos en función de los vectores unitarios, considerando que ellos también resultan ser paralelos a los ejes y proporcionales a los unitarios:

En el caso del vector A, por ser inclinado y no paralelo a los ejes, no se puede expresar con una proporción directa de uno de los vectores unitarios, pero si como una combinación lineal de los vectores componentes Ax y Ay:

  ¿Cómo se expresa el sentido de un vector? 

El sentido del vector se establece con la punta de la flecha. El sentido del vector dice hacia a dónde apunta el vector a través del signo positivo (+) o negativo (-), bien sea de su misma expresión o en la de sus componentes.

 

En un plano cartesiano el sentido tiene que ver con la orientación del vector en uno de sus cuadrantes, o sobre alguno de sus ejes:

Veamos como sería el sentido de algunos vectores utilizando el Plano Cartesiano X-Y: 

- El vector A: se encuentra en el primer cuadrante, por lo tanto, su componente o proyección en X (Ax) es positiva y su proyección en Y (Ay) también es positiva.

A= (Ax,Ay) siendo Ax>0 y Ay>0

En el ejemplo de la figura sería: A=(+5,+4)

- El vector B: es paralelo al eje Y, su dirección es  Ĵ y apunta en hacia los positivos del eje Y.

B= (0,By) siendo By>0

En el ejemplo de la figura sería: B=(0,+4) 

- El vector C: se encuentra en el segundo cuadrante, por lo tanto, su componente o proyección en X (Cx) apunta en sentido negativo y su proyección en Y (Cy) apunta en sentido positivo.

C= (Cx,Cy) siendo Cx<0 y Cy>0

En el ejemplo de la figura sería: C=(- 5,+4) 

- El vector D: es paralelo al eje X, su dirección es Î y apunta en sentido negativo sobre el eje X.

D= (Dx,0) siendo Dx<0 

En el ejemplo de la figura sería: D=(-3,0) 

- El vector E: se encuentra en el tercer cuadrante, por lo tanto, su componente o proyección en X (Ex) es negativa y su proyección en Y (Ey) también es negativa.

E= (Ex,Ey) siendo Ex<0 y Ey<0

En el ejemplo de la figura sería: E=(-5,-4) 

 - El vector F: es paralelo al eje Y, su dirección es  Ĵ y apunta en sentido negativo sobre el eje Y.

F= (0,Fy) siendo Fy<0

En el ejemplo de la figura sería: F=(0,-4) 

 - El vector G: se encuentra en el cuarto cuadrante, por lo tanto, su componente o proyección en X (Gx) es positiva y su proyección en Y (Gy) es negativa.

G= (Gx,Gy) siendo Gx>0 y Gy<0
En el ejemplo de la figura sería: G=(+5,-4)

- El vector H: es paralelo al eje X, su dirección es Î y apunta en sentido positivo sobre el eje X.

H= (Hx,0) siendo Hx>0 

En el ejemplo de la figura sería: H=(+3,0) 

 En un sistema cartesiano tridimensional, las regiones se dividen en octantes, y nuevamente, el sentido del vector y de sus componentes depende de hacia dónde apuntará la flecha del vector. Pero no nos detendremos en un estudio detallado de los vectores en el espacio (terna: X, Y y Z) porque se trabajará en su mayoría con ejemplos sobre el plano XY y luego, en los últimos temas se utilizarán únicamente representaciones de vectores sobre el eje Z. Así que inciaremos mas bien con el repaso de las operaciones básicas con los vectores, las cuales sustentan el desarrollo analítico de la Mecánica Newtoniana.

¿Éxiste otra forma de expresar a un vector?

Algunas veces se desconocen las componentes del vector al igual que sus puntos de origen y extremo, pero en su lugar se tiene el tamaño del vector y los ángulos que éste forma con los ejes cartesianos. Estos ángulos son conocidos como "ángulos directores" y nos brindarán la información que necesitamos para determinar la dirección y sentido del vector.

Siempre y cuando los ángulos estan bien medidos, es decir, si se toman desde la parte positiva de cada eje rotando en sentido antirorario hasta encontrarse con el vector, entonces es posible calcular los cosenos de esos ángulos, los cuales pasarán a ser los "cosenos directores", y son los que se utilizan directamente para construir un vector unitario (tamaño igual a la unidad) proporcionando la dirección y sentido que le hace falta a nuestro vector:

Para reunir los tres elementos del vector sólo hace falta multiplicar el módulo por el unitario y así encontraremos al vector completo:

Sustituyendo la expresión equivalente al vector unitario:

  Multiplicándo el módulo del vector por cada coseno director queda:

Y con esta expresión ya se puede distinguir la parte correspondiente a cada componente del vector:

Suma de Vectores:

La suma de dos vectores (por ejemplo A y B), se puede efectuar de manera gráfica (paralelograma, polígonos) o bien de manera analítica utilizando sus componentes.

Para realizar la suma de dos vectores de manera analítica se toman componentes de cada vector y se suman ALGEBRÁICAMENTE componente a componente, es decir:

- la componente en X del primer vector se suma algebraicamente con la componente en X del segundo vector (Ax+Bx).

- la componente en Y del primer vector se suma algebraicamente con la componente en Y del segundo vector (Ay+By). 

- la componente en Z del primer vector se suma algebraicamente con la componente en Z del segundo vector (Az+Bz)

 Donde cada uno de estos resultados formarán las componentes del nuevo vector suma "S":

  

Resta de Vectores:

 

En cuanto a la resta de vectores de manera gráfica es posible aplicar la inversión del sentido del vector que se resta y luego seguir los pasos de una suma gráfica de vectores.

Ahora bien, en la resta analítica de vectores se parte nuevamente de la expresión de los mismos como pareja ordenada de componentes y se siguen los pasos:

- Invertir los signos del vector que será el sustraendo (-Bx y - By).

- Luego, se suma algebraicamente la componente en X del primer vector con la componente en X del segundo vector (Ax+(-Bx))

- Se suma algebraicamente la componente en Y del primer vector con la componente en Y del segundo vector (Ay+(-By))

- Se suma algebraicamente la componente en Z del primer vector con la componente en Z del segundo vector (Az+(-Bz))

 Donde cada uno de estos resultados formarán las componentes del nuevo vector Resta "R".

 Producto Vectorial de Vectores:

 El producto vectorial, o bien producto X, de dos vectores se puede desarrollar analíticamente con el método del determinante. Y en casos relativamente sencillos con el método de la mano derecha. En ambos casos el resultado será un nuevo vector P ó un vector nulo si los dos vectores del producto llegasen a ser paralelos o antiparalelos. En este producto el resultado se afecta con el orden en que se efectúe la multiplicación (no es conmutativo).

Donde las componentes del vector P serían:

Tal como se comentó hay casos donde la dirección y sentido del vector resultante se puede obtener fácilmente aplicando la regla de la mano derecha, entonces para esos casos el módulo del vector P ser determina de la siguiente manera:

Producto Escalar de Vectores:

 En cambio, el producto escalar de dos vectores, tambien conocido como producto punto, arroja como resultado un escalar (número positivo, negativo o cero). De igual manera encontraremos dos maneras de efectuar el producto escalar de dos vectores, la primera forma es aplicándo la multiplicación de las componentes semejantes de cada vector, para luego efectuar la suma algebraica de estos productos:

La segunda forma se logra realizando el producto de los módulos de cada vector por el coseno del ángulo que se forma entre ambos vectores.

 División de un Vector entre un escalar:

 A pesar que no es posible realizar la división entre dos vectores si es posible dividir el vector entre un escalar "k". A partir de la expresión en cartesianas del vector esta operación consistirá en dividir cada componente del vector entre el escalar en cuestión, dando como resultado un nuevo vector con la misma dirección del vector inicial pero, podría experimentar un cambio de sentido si el escalar "k" es negativo (k<0). En cuanto al módulo o tamaño del vector resultante puede terminar siendo mayor (0<|k|<1) que el vector original, igual (|k|=1) al vector original o menor (|k|>1) que el vector original.